Вариантов много. Юр.лицо с физ.лицом может заключить нотариальный договор аренды, или так же, дать нотариальную доверенность на управление (эксплуатацию). Юр.лица между собой просто заключают договор. Нотариус тут не нужен.
Автоинспекцию все эти договора вообще не касаются. Их интерес, это техническое состояние, наличие необходимых, для движения документов, как то, сертификат на тахограф, тех.осмотр, шайбы. Полицию эти договора так же не касаются. Их интерес, это водительское удостоверение, страховка.
Договорные отношения между владельцами, по большому счету, двусторонние отношения. Возможно, здесь может быть интерес у налоговой.
Но это уже более правильно и точно могут дать ответ юристы.